怎么求下列积分
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解：分享一种解法，转化成二重积分求解。设I=∫(0,∞)[u^(-1/2)]e^(-u)du。
令u=t²，∴I=2∫(0,∞)e^(-t²)dt=2∫(0,∞)e^(-s²)ds。
∴I²=4∫(0,∞)e^(-t²)dt∫(0,∞)e^(-s²)ds=∫(0,∞)∫(0,∞)e^(-t²-s²)dtds。
再设t=ρcosθ，s=ρsinθ，∴I²=4∫(0,π/2)dθ∫(0,∞)e^(-ρ²)ρdρ=2∫(0,π/2)dθ=π。
∴原式=I=√π。
【另外，亦可直接用伽玛函数Γ(α)=∫(0,∞)[u^(α-1)]e^(-u)du(α>0)，Γ(1/2)=√π求解】供参考。
令u=t²，∴I=2∫(0,∞)e^(-t²)dt=2∫(0,∞)e^(-s²)ds。
∴I²=4∫(0,∞)e^(-t²)dt∫(0,∞)e^(-s²)ds=∫(0,∞)∫(0,∞)e^(-t²-s²)dtds。
再设t=ρcosθ，s=ρsinθ，∴I²=4∫(0,π/2)dθ∫(0,∞)e^(-ρ²)ρdρ=2∫(0,π/2)dθ=π。
∴原式=I=√π。
【另外，亦可直接用伽玛函数Γ(α)=∫(0,∞)[u^(α-1)]e^(-u)du(α>0)，Γ(1/2)=√π求解】供参考。
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