Question

1的立方加到n的立方的公式是什么？

Answer 1

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 

证明： 

1^3=1^2 

1^3+2^3=(1+2)^2 

1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2 

综上所述,观察得知: 

1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……+n)^2=n^2(n+1)^2/4 

当n=1时，结论显然成立 

若n=k时，结论假设也成立 

1^3+2^3+3^3+……+k^3=k^2(k+1)^2/4 

则n=k+1时有 

1^3+2^3+3^3+……+k^3+(k+1)^3 

=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3 

=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4 

=(k+1)^2(k+2)^2/4 

所以 

1^3+2^3+3^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4

汉语拼音：立方(lì fāng）

1.也叫三次方。三个相同的数相乘，叫做这个数的立方。如5×5×5叫做5的立方，记做5。

2.量词，用于体积，一般指立方米。

3.在图形方面，立方是测量物体体积的，如立方米、立方分米、立方厘米等常用单位，

（一）求出立方体的棱长

（二）棱长=体积（注意：如果棱长单位是厘米，体积单位是立方厘米，写作cm³；如果棱长单位是米，体积单位是立方米，写作m³，以此类推。

英文单词：cube

Answer 2

用累加法
证：
(a+1)³-a³=3a²+3a+1，
所以a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1...
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加可得：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+...+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+...+1）
3（1²+2²+3²+...+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6
望采纳，谢谢！