Question

一道常微分问题

一道常微分问题第18题

Answer 1

特征方程r^2+2r+5=0
(r+1)^2=-4
r=-1±2i
所以齐次方程x''+2x'+5x=0的通解为x1=e^(-t)*(C1*cos2t+C2*sin2t)
先求x''+2x'+5x=4e^(-t)的特解
设特解x2*=me^(-t)，代入上述方程
me^(-t)-2me^(-t)+5me^(-t)=4e^(-t)
m=1
所以特解x2*=e^(-t)
再求x''+2x'+5x=17sin2t的特解
设特解x3*=acos2t+bsin2t，代入上述方程
-4acos2t-4bsin2t-4asin2t+4bcos2t+5acos2t+5bsin2t=17sin2t
a+4b=0，a-4b=17
a=17/2，b=-17/8
所以特解x3*=(17/8)*(4cos2t-sin2t)
综上所述，原方程的通解x=x1+x2*+x3*
=e^(-t)*(C1*cos2t+C2*sin2t)+e^(-t)+(17/8)*(4cos2t-sin2t)
=e^(-t)*(C1*cos2t+C2*sin2t+1)+(17/8)*(4cos2t-sin2t)
其中C1,C2是任意常数

Answer 2

∫(0->a) √(a^2-x^2 ) dx
=[x.√(a^2-x^2 )]|(0->a) + ∫(0->a) x^2/√(a^2-x^2 ) dx
=-∫(0->a) (a^2-x^2)/√(a^2-x^2 ) dx +a^2∫(0->a) dx/√(a^2-x^2 )
=-∫(0->a) √(a^2-x^2 ) dx +a^2∫(0->a) dx/√(a^2-x^2 )
=-∫(0->a) √(a^2-x^2 ) dx +a^2[ arcsin(x/a) ]| (0->a)
=-∫(0->a) √(a^2-x^2 ) dx +a^2 . (π/2)
2∫(0->a) √(a^2-x^2 ) dx =a^2 . (π/2)
∫(0->a) √(a^2-x^2 ) dx =a^2 . (π/4)