利用换元u=1/x,证明∫lnx/(1+x²)dx=0,x(0,+∞)
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let
u= 1/x
du =-(1/x^2) dx
dx = - (1/u^2) du
x=0, u=+∞
x=+∞ , u=0
I
=∫(0->+∞) lnx/(1+x^2) dx
=∫(+∞->0) [ln(1/u)/(1+(1/u)^2) ] [-(1/u^2) du]
=∫(0->+∞) -lnu/(1+u)^2 du
=∫(0->+∞) -lnx/(1+x)^2 dx
2I
=∫(0->+∞) lnx/(1+x)^2 dx + ∫(0->+∞) -lnx/(1+x)^2 dx
=0
I=0
=>
∫(0->+∞) lnx/(1+x^2) dx =0
u= 1/x
du =-(1/x^2) dx
dx = - (1/u^2) du
x=0, u=+∞
x=+∞ , u=0
I
=∫(0->+∞) lnx/(1+x^2) dx
=∫(+∞->0) [ln(1/u)/(1+(1/u)^2) ] [-(1/u^2) du]
=∫(0->+∞) -lnu/(1+u)^2 du
=∫(0->+∞) -lnx/(1+x)^2 dx
2I
=∫(0->+∞) lnx/(1+x)^2 dx + ∫(0->+∞) -lnx/(1+x)^2 dx
=0
I=0
=>
∫(0->+∞) lnx/(1+x^2) dx =0
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