Question

第十三题 求解

Answer 1

13.解：原式=lim<x->0>{[∫<0,x>(tant-sint)dt]/[x²•(3x²)]} (∵e^x²-1～x²，ln(1+3x²)～3x²)

=lim<x->0>[(tanx-sinx)/(12x³)] (0/0型极限，应用洛必达法则)
=lim<x->0>{[2•sin²(x/2)•tanx]/(12x³)} (应用倍角公式分解)
=lim<x->0>{(1/24)•[sin(x/2)/(x/2)]²•(tanx/x)}
=(1/24)•{lim<x->0>[sin(x/2)/(x/2)]}²•{lim<x->0>(tanx/x)} (应用初等函数连续性)
=(1/24)•1²•1 (应用重要极限lim<t->0>(sint/t)=1)
=1/24。