Question

要如何去计算这个三重积分，希望有详细过程出来？

Answer 1

被积函数有e^|x|，是偶函数，根据对称性，等于2倍的∫e^x，积分区域变成x＞0的部分。

∫∫dydz，积分区间就是y2+z2≤（1-x2）.（也就是球在yoz平面的投影），积分就是这个圆的面积。所以就得到上面的求解。

Answer 2

解题思路是：
积分域关于坐标平面 yOz 对称，记 第一卦限部分为 Ω1，
x，y，z 的偶函数 e^|x| 的积分是 e^x 在 Ω1 上积分的 8 倍。
直角坐标法：I = 8∫<0, 1>e^xdx∫<0, √(1-x^2)>dy∫<0, √(1-x^2-y^2)>dz
很麻烦。
化为极坐标：
I = ∫<0, π/2>dφ∫<0, π/2>dθ∫<0, 1>e^(rsinφcosθ)r^2sinφdr
其中 ∫e^(rsinφcosθ)r^2sinφdr = secθ∫r^2de^(rsinφcosθ)
= secθ[r^2e^(rsinφcosθ)-2∫re^(rsinφcosθ)dr]
= secθ[r^2e^(rsinφcosθ)-2cscφsecθ∫rde^(rsinφcosθ)]
= secθ{r^2e^(rsinφcosθ)-2cscφsecθ[re^(rsinφcosθ)-∫e^(rsinφcosθ)dr]}
= secθ{r^2e^(rsinφcosθ)-2cscφsecθ[re^(rsinφcosθ)-cscφsecθe^(rsinφcosθ)]}
r 从 0 到 1 取值，得
secθ{e^(sinφcosθ)-2cscφsecθ[e^(sinφcosθ)-cscφsecθe^(sinφcosθ)]-2(cscφsecθ)^2}
再代入积分，也非常麻烦。