Question

设函数f(x)=a/x+xInx,讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

解：函数f(x)
=
a/x
+
xlnx，定义域x
>
0而且x
≠
1/e，求导可得f
’(x)
=
{0*(x
+
xlnx)
–
a[(1
+
1lnx
+
x*(1/x)]}/(x
+
xlnx)
2

=
-a(2
+
lnx)/(x
+
xlnx)
2

，对a的值分类讨论可得：

1）如果a
=
0，此时f(x)
=
0，所以函数f(x)是常值函数，没有单调递增区间和单调递减区间。

2）如果a
>
0，当2
+
lnx
<
0，即lnx
<
-2，即0
<
x
<
e
-2

=
1/e
2
时，f
’(x)
=
-a(2
+
lnx)/(x
+
xlnx)
2
>
0，此时f(x)单调递增，即f(x)在0
<
x
<
1/e
2
上单调递增；

当2
+
lnx
>
0，即lnx
>
-2，即x
>
e
-2

=
1/e
2
而且x
≠
1/e时，f
’(x)
=
-a(2
+
lnx)/(x
+
xlnx)
2
<
0，此时f(x)单调递减，即f(x)在1/e
2

<
x
<
1/e以及x
>
1/e上单调递减；

3）如果a
<
0，当2
+
lnx
>
0，即lnx
>
-2，即x
>
e
-2

=
1/e
2
而且x
≠
1/e时，f
’(x)
=
-a(2
+
lnx)/(x
+
xlnx)
2
>
0，此时f(x)单调递增，即f(x)在1/e
2

<
x
<
1/e以及x
>
1/e上单调递增；

当2
+
lnx
<
0，即lnx
<
-2，即0
<
x
<
e
-2

=
1/e
2
时，f
’(x)
=
-a(2
+
lnx)/(x
+
xlnx)
2
<
0，此时f(x)单调递减，即f(x)在0
<
x
<
1/e
2
上单调递减。

Answer 2

首先，求出这个二次函数的对称轴：x=-b/2a=3/2，所以对称轴为x=3/2
其次，看函数图像开口方向：因为a=1>0，所以函数图像开口向上
第三，根据图像形状确定单调区间：因为函数图像开口向上，所以在对称轴的左半部分，函数值是单调递减的；在对称轴的右半部分，函数值是单调递增的。所以该函数的单调递减区间是(-∞,3/2]