Question

四边形ABCD是边长为a的正方形，分别以点ABCD为圆心，a为半径画弧，相交于点EFGH，求EFHG的面积

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Answer 1

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假设 E 离 A、B 较近，F 离 B、C 较近，G 离 C、D 较近，H 离 A、D 较近。
则：
连接 AF、AG，则有 ∠FAD = ∠GAB = 60°。
∴ ∠FAG = ∠FAD + ∠GAB - ∠DAB
= 60° + 60°+ 90°
= 30°

{①
∴弧FG = 2aπ * 30°/ 360° = aπ/6
同理 弧EF = 弧FG = 弧GH = 弧HE = aπ/6
∴相交部分周长为 4aπ/6 = 2aπ/3
}

{②
∴扇形AFG面积 S1 = πaa * 30°/ 360°= πaa/12
设正方形中心点为 O ，连接 OA、OF，延长 OF，交 AD 于 P
则有： FP ⊥ AD，AP = a/2
又∵ AF = a
∴根据勾股定理，FP = (a/2)*√3
∴OF = PF - OP = (a/2)*√3 - a/2 = a/2 * (- 1 + √3)
∴S△AOF = OF * AP / 2 = aa/8 * (- 1 + √3)
同理 S△AOG = S△AOF
设 OF、OG、弧FG 围成图形的面积为 S2，则：
S2 = S1 - S△AOF - S△AOG
= S1 - 2 * S△AOF
= πaa/12 - 2 * aa/8 * (- 1 + √3)
= aa/4 * (π/3 + 1 - √3)
由题意知，四条弧相交部分面积 = 4 * S2 = aa * (π/3 + 1 - √3)
}