Question

高等数学，求反常积分，我想问我这样的做法对吗?

求反常积分

Answer 1

∫(2->+∞) xlnx/(1-x^2)^2 dx
=(1/2)∫(2->+∞) lnx d[1/(1-x^2)]
=(1/2) [ lnx /(1-x^2)] |(2->+∞) - (1/2)∫(2->+∞) dx/[x(1-x^2)]
=(1/6)ln2 - (1/2)∫(2->+∞) dx/[x(1-x^2)]
=(1/6)ln2 + (1/2)∫(2->+∞) dx/[x(x^2 -1)]
=(1/6)ln2 + (1/2)∫(2->+∞) { -1/x +(1/2)[1/(x-1)] + (1/2) [1/(x+1)] } dx
=(1/6)ln2 + (1/2)[ ln|√(x^2-1)/x| ]|(2->+∞)
=(1/6)ln2 - (1/2)ln(√3/2)
=(1/6)ln2 -[(1/4)ln3 -(1/2)ln2]
=(2/3)ln2 - (1/4)ln3
let
1/[x(x^2-1)] ≡ A/x + B/(x-1) + C/(x+1)
=>
1≡ A(x-1)(x+1)+Bx(x+1) +Cx(x-1)
x=0, => A = -1
x=1, =>B= 1/2
x=-1, => C= 1/2
1/[x(x^2-1)] ≡ -1/x +(1/2)[1/(x-1)] + (1/2) [1/(x+1)]

追问

你直接说对不对就好了😂

这一大串看得我有点晕

追答

不对
∫(2->+∞) xlnx/(1-x^2)^2 dx =(2/3)ln2 - (1/4)ln3

追问

我研究一下

为什么那样子做不行?

追答

dlnx ≠ (1/2)dln(1-x^2)
这里出错！

追问

把1-x^2当做lnx里的x不可以吗

我其实也觉得有点古怪，但是也不值得错哪里😂

追答

dln(1-x^2) =[ -2x/(1-x^2)] dx
dlnx = (1/x) dx
不等！

追问

喔喔，这样子啊

我还想问个问题dx/x（x^2-1）怎么得-1/x＋1/2（x＋1）+1/2（x＋1）

追答

不是已经告诉了你吗？
部分分式分解
let
1/[x(x^2-1)] ≡ A/x + B/(x-1) + C/(x+1)
=>
1≡ A(x-1)(x+1)+Bx(x+1) +Cx(x-1)
x=0, => A = -1
x=1, =>B= 1/2
x=-1, => C= 1/2
1/[x(x^2-1)] ≡ -1/x +(1/2)[1/(x-1)] + (1/2) [1/(x+1)]

追问

谢谢

我懂了