Question

二项分布的样本均值和方差怎么计算？

问个比较弱智的问题：抛硬币400次，175次正面，225次反面，求样本均值和样本方差，请各位指点，
我的计算是均值：175/400＝0.4375
可是如果用它来估计其参数p的话，二项分布的期望是：np＝400p，
根据矩估计的原理：400p＝0.4375，那么p＝0.4375/400，显然是不可能的。
请各位大侠指点。
原题是求其置信区间，现在已经解决，是利用中心极限定理，将其归结为正态分布求解的，
但二项分布的矩估计问题我还是有点弄不明白， terrydc3 朋友说的还是不够明白，有些地方好像也不对，对某一个具体的二项分布来说，n 肯定是确定的，不应该是随机数，但也不一定就是样本容量，那么如何对 p进行估计呢？
本题是抛硬币，大家都知道正常情况下 lim(p)＝0.5，可是如果是产品合格率的估计呢？
比方说，一批产品，抽样考察其合格率，样本容量400件，合格品300件，求其合格率的矩估计，
我理解如果上述问题的产品总数已知，假如是1万件，那么 二项分布为： B(10000,p)，可是如果产品总数也未知呢？n＝？
我看到一本教材中给出了一个普通的二项分布 B(N,p) 的矩估计算法公式，其n也作为未知数进行估计了，他是采取一阶、二阶矩两方程进行估计的。但其公式中还是有个 样本均值，该均值怎么算？该教材没说。我也没想明白，但估计肯定不是 样本和/样本容量，因为这个值已经是样本中的该事件的发生频率，基本就是 p 的估计值了，可是我们都知道：二项分布的数学期望是 N*p，显然这两个值不可能是一个概念。

Answer 1

LZ对公式和矩估计理解有误啊,矩估计原理认为样本的n阶中心钜和n阶原点矩和总体的n阶中心钜和n阶原点矩相同,也就是说,可以假设你测试的这一共400次的实验,所求得的均值可以代表整个母体数据的均值,你测了400次,平均值是0.4375,那么可以理解为不论测试多少次,抛硬币的平均值就是0.4375;
所以你的公式算错了:p=400p/n=400*0.4375/n=不论测试多少次出现正面的次数情况,这个里面的n不是400 是任意数量,因为你用400求出的概率就等于任意实验次数求出的概率,我们假设他们是近似的,几乎一样的,这个实验方法就是矩估计原理,这样说可能比较清楚

样本的n肯定小于母体总量N 我所说的n随机也是在N范围内的,所以原题是让你求置信区间.

可能是我讲的还不太清楚,导致LZ误解了,矩估计其实就是你通过样本测试对母体情况的一种猜测,这种猜测的前提是我们假设样本的情况是近似于母体的情况的,打个比方你投掷硬币100次得到了一个平均值,这个平均值是可以代表投掷1000次产生的平均值,因为我们假设这两个值是近似的,LZ太执泥于公式了,对公式没有吃透啊.
正如LZ举的例子,产品的总数N我们不知道,我们就可以随机抽取n个样本进行测试,把测试结果假设定义为所有产品的特征,因为我们假设样本具有母体特征,两个值是近似的,这就是我们为什么不用测试所有产品,只要测试部分产品的原理,不知道这样解释LZ是否能理解:)

说个更简单的例子 其实矩估计就是在一个大长方型未知的情况下,通过已知的一个同比例缩小的小长方型,求大长方型长和宽比例的方法.这样讲比较直观.

Answer 2

先用最简单的两点分布（伯努利分布）给你解释再说二项分布

两点分布的意思就是譬如说你扔硬币 结果有两个 分别是正面和反面 发生正面的概率为p 反面就为q＝1-p 如果是正面你就得1分 反面就0分 现在我们算一下你的期望 假设你的得分用x表示
那么期望E(x)=p*1+q*0=p 所以从这个可以看出期望就是你的不同情况下的得分乘以他发生的概率再求和 再说说方差 方差是描述你所得到的分数的离散情况 前面我们不是已经计算了期望 也就是均值吗 那你想想如果我们要判断你得分的离散情况该怎么办呢 就得求出你的得分与均值的差对吧 但是如果我们只用差来表示的话 就会存在绝对值 所以为了计算的简便性我们就求这些差的平方和 所以才有了方差 还是借用两点分布 D就是代表方差 所以D(x)=p*(1-E(x))^2+q*(0-E(x))^2=qp
现在算一下二项分布 E(x)=0*q^n*C(n,0)+1*p*q^(n-1)*C(n,1)+...+n*p^n*C(n,n)=np
方差是D(x)=q^n*C(n,0)*(0-E(x))^2+p*q^(n-1)*C(n,1)*(1-E(x))^2+...+p^n*C(n,n)*(n-E(x))^2=npq
另外关于均值和方差的性质 其中x是随机变量 a和b都是常数 譬如说你有一个随机变量x 另外还有一个随机变量等于ax＋b 如果你用前面的期望和方差公式算出了x的期望和方差 那么ax＋b的期望和方差你就不用再用那么复杂的公式了 而是可以直接用这个性质的公式来计算
PS： E是代表对括号里面的随机变量求期望 D是代表对括号里的随机变量求方差

Answer 3

你搞错了，矩估计的方法应该是p＝0.4375。你还要除一个n,n=400

Answer 4

你要求反面还是正面啊