
看图,求阴影面积?
由图可知:圆心为E,且EF、EH分别为弦BG、AG的垂线,则
①△ABC、△GAC(S5)、△GBA之间两两相似;
②S1—S5均全等。
则AB/AG=BC/AC,而BC=4√5,∴AG=(8/5)√5。
在△AEG中,AE=GF=4,AG=(8/5)√5,由余弦定理可得cos∠AEG=3/5,则∠AEG=arccos3/5。
扇形EAG的面积=16π/360×arccos3/5=2π/45×arccos3/5。
那么扇形EBG的面积=8π-2π/45×arccos3/5。
则S6=8π-2π/45×arccos3/5-(S1+S2)=8π-2π/45×arccos3/5-32/5。
而S7=(4×8-8π)÷2=16-4π。
∴阴影面积S=△BCD面积-S6-S7=16-(8π-2π/45×arccos3/5-32/5)-(16-4π)=32/5-4π+2π/45×arccos3/5。
如图建立坐标系。在此坐标系里,园的方程为:x²+y²=16; 下半圆:y=-√(16-x²);
tan∠FAB=4/8=1/2;故对角线AF的方程为:y=(1/2)(x-4)=(1/2)x-2;
下面求对角线与园的交点C的坐标:令-√(16-x)=(1/2)x-2; 两边平方去根号,再化简得:
5x²-8x-48=0;故C点的横坐标x=(8-√1024)/10=(8-32)/10=-2.4;C点的纵坐标y=-3.2;
即∣CE∣=2.4;∣OE∣=3.2;故sinθ=2.4/4=0.6; ∴θ=35.87°=(35.87/180)π=0.6435弧度;
蓝色弓形的面积S₁=(1/2)R²(θ-sinθ)=(1/2)•4²•(0.6435-0.6)=8×0.0435=0.348;
∣CD∣=4-∣0E∣=4-3.2=0.8;
∴红色阴影部分的面积S=∆ABC的面积-蓝色弓形的面积S₁=(1/2)×∣AB∣×∣CD∣-S₁
=(1/2)×4×0.8-0.348=1.6-0.348=1.252;