Question

一道求极限的问题

不明白那个过程，而且最后那步积分怎么求啊，求解答

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Answer 1

(5)
consider
f(x) = ln(1+x)
∫(0->1) f(x) dx = lim(n->∞)(1/n)∑(i:1->n) f( i/n)
lim(n->∞)(1/n)∑(i:1->n) f( i/n)
=lim(n->∞)(1/n)∑(i:1->n) ln( 1+ i/n)
=∫(0->1) ln(1+x) dx
/
L = lim(n->∞) [ (1+1/n) (1+2/n)...(1+n/n) ]^(1/n)
lnL
= lim(n->∞)(1/n)∑(i:1->n) ln(1+ i/n)
=∫(0->1) ln(1+x) dx
=[xln(1+x) ]|(0->1) - ∫(0->1) x/(1+x) dx
=ln2 - ∫(0->1) [ 1- 1/(1+x)] dx
=ln2 - [ x-ln|1+x|]|(0->1)
=ln2 - ( 1-ln2)
=2ln2 -1
L = e^[2ln2 -1] = 4e^(-1)
ie
lim(n->∞) [ (1+1/n) (1+2/n)...(1+n/n) ]^(1/n) = 4e^(-1)

Answer 2

极限的问题

Answer 3

利用定积分的定义，分部积分求解