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由f(x)在[a, b]二阶连续可导,将f(x)在点(a+b)/2展开成泰勒公式,有
f(x)=f[(a+b)/2]+f'[(a+b)/2][x-(a+b)/2]+f"(ξ)/2!* [x-(a+b)/2]^2,其中ξ在a与b之间。
∴f(x)-f[(a+b)/2]=f'[(a+b)/2][x-(a+b)/2]+f''(ξ)/2!*[x-(a+b)/2]^2.
于是∫(a, b) {f(x)-f[(a+b)/2]}dx=f'[(a+b)/2]∫(a, b)[x-(a+b)/2]dx+f''(ξ)/2!* ∫(a, b)[x-(a+b)/2]^2dx=0+f''(ξ)/2!* 1/3 * [x-(a+b)/2]^3|(a, b)=f''(ξ)/24 * (b-a)^3.
最后,将最左端的积分化为两项,并把后一项移到等式右端,即得到欲证明的等式。
f(x)=f[(a+b)/2]+f'[(a+b)/2][x-(a+b)/2]+f"(ξ)/2!* [x-(a+b)/2]^2,其中ξ在a与b之间。
∴f(x)-f[(a+b)/2]=f'[(a+b)/2][x-(a+b)/2]+f''(ξ)/2!*[x-(a+b)/2]^2.
于是∫(a, b) {f(x)-f[(a+b)/2]}dx=f'[(a+b)/2]∫(a, b)[x-(a+b)/2]dx+f''(ξ)/2!* ∫(a, b)[x-(a+b)/2]^2dx=0+f''(ξ)/2!* 1/3 * [x-(a+b)/2]^3|(a, b)=f''(ξ)/24 * (b-a)^3.
最后,将最左端的积分化为两项,并把后一项移到等式右端,即得到欲证明的等式。
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