Question

高数题求助

求曲线y＝x²与x²+y²＝1围成的平面图的面积

Answer 1

y = x² 的极坐标方程是 r = sint/(cost)^2,
x² + y² = 1 的极坐标方程是 r = 1
联立解 y = x² 与 x² + y² = 1 得交点的 x 坐标是 ±√[(√5-1)/2]，
利用对称性，得
S = 2∫《0, √[(√5-1)/2]》[√(1-x^2) - x^2]dx
= 2∫《0, √[(√5-1)/2]》√(1-x^2)dx - (1/3)[(√5-1)/2]^(3/2)
前者令 x = sint， 得
I = 2∫《0, arcsin√[(√5-1)/2]》 (cost)^2dt
= ∫《0, arcsin√[(√5-1)/2]》 (1+cos2t)dt
= [t+(1/2)sin2t]《0, arcsin√[(√5-1)/2]》
= [t+sintcost]《0, arcsin√[(√5-1)/2]》
= arcsin√[(√5-1)/2] + √[(√5-1)/2]√[(3-√5)/2]
= arcsin√[(√5-1)/2] + √(√5-2)
S = arcsin√[(√5-1)/2] + √(√5-2) - (1/3)[(√5-1)/2]^(3/2)