Question

高数。函数，连续，一致连续相关？

第五题

Answer 1

cos(2/x)在[c,1]上连续,所以一致连续
证明非一致连续可以采用下述定理:
设f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是,对於I中任意两个数列{an}和{bn},只要lim(n→∞)an-bn=0,就有lim(n→∞)f(an)-f(bn)=0

所以只要找到两个特殊的数列{an}和{bn},虽然满足lim(n→∞)an-bn=0,但不满足lim(n→∞)f(an)-f(bn)=0,那我们就可以说f(x)非一致连续
取an=1/nπ,bn=2/(2n+1)π,於是当n→∞时,an-bn→0-0=0

但f(an)=cos2nπ=1,f(bn)=cos(2n+1)π=-1,因此当n→∞时,f(an)-f(bn)=1-(-1)=2≠0
因此f(x)非一致连续