Question

“证明当x>0时，x/1+x<ln(1+x)<x” ，哪位大神能写一下详细过程，解救我于水火之中

Answer 1

设f(x) = x-ln(1+x)
当x>0时
∵f'(x) =1- 1/(1+x)= x/(1+x) >0
∴f(x)≥ f(0) = 0
则有 x-ln(1+x)≥ 0
即 x≥ln(1+x)

追答

即f(x)单调递增

构造函数 g(x) = ln(1+x) - x/(1+x) = ln(1+x) - 1 + 1/(1+x)
g'(x) = 1/(1+x) - 1/(1+x)^2 = x/(1+x)^2
当 x > 0 时 ，显然恒有 g'(x) > 0
∴ g(x) 在 x > 0 上是增函数，且有g(0)= 0 ，
故当 x > 0 时，总有 g(x) > 0 ，
所以 ln(1+x) > x/(1+x) 。

Answer 2

有人证明了，我这里补上一张图，加深印象