Question

常用坐标系的相互转换

Answer 1

1.惯性坐标系（i系）－地球坐标系（e系）

如图3-2-3所示，地球直角坐标系0x^ey^ez^e为地固坐标系（简称e系），0xⁱyⁱyⁱ为惯性坐标系（简称i系）。ω为地球自转角速度。

地球直角坐标系0x^ey^ez^e相对惯性参照系的转动角速度就是地球的自转角速度ω。

航空重力勘探理论方法及应用

则有e系至i系的坐标变换矩阵为：

航空重力勘探理论方法及应用

2.地球坐标系（e系）－当地地理坐标系（n系）

如图3-2-4所示，地理坐标系的原点就是载体所在点，zⁿ轴沿当地参考椭球的法线指向向外，xⁿ轴与yⁿ轴均与zⁿ垂直；即在当地水平面内，xⁿ轴沿当地纬度线指向正东，yⁿ轴沿当地子午线指向正北。按照这样的定义，地理坐标系的zⁿ轴与地球赤道平面的夹角就是当地地理纬度，zⁿ轴与yⁿ轴构成的平面就是当地子午面。zⁿ轴与xⁿ轴构成的平面就是当地卯酉面。xⁿ轴与yⁿ轴构成的平面就是当地水平面。

地理坐标系的三根轴可以有不同的选取方法。图3-2-5所示的地理坐标系是按“东、北、天”为顺序构成的右手直角坐标系。除此之外，还有按“北、西、天”或“北、东、地”为顺序构成的右手直角坐标系。

图3-2-4 地球坐标系与当地地理坐标系

图3-2-5 载体运动引起的地理坐标系转动

地球坐标系先绕z^e转动λ角，得到0^ex’y’z^e，再绕y’转动（270°－φ），即得到当地地理坐标系（Gopal M,1984）。因此地球坐标系与当地地理坐标系之间的转换矩阵

为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：φ为地理纬度；λ为地理经度。

当载体在地球表面运动时，载体相对地球的位置不断发生变化，地球上不同地点的地理坐标系相对地球的角位置是不同的。也就是说，载体的运动将引起地理坐标系相对地球坐标系转动。如果考察地理坐标系相对惯性坐标系的转动角速度，应当考虑两种因素：一是地理坐标系随载体运动时相对地球坐标系的转动角速度；二是地球坐标系相对惯性参照系的转动角速度。

假设载体沿水平面航行（如飞机），所在地点的纬度为φ，航速为v，航向为H。将航速分解为沿地理坐标系北东两个分量：

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航速的北分量v_N引起地理坐标系绕着平行于地理东西方向的地心轴相对地球转动，其转动角速度为（见图3-2-5）：

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航速的东向分量v_E引起地理坐标系绕着极轴相对地球转动，其转动角速度为：

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参考椭球上各点的子午圈半径R_M和卯酉圈半径R_N的计算公式为：

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式中：R为参考椭球的地球长半径；e为参考椭球的第一偏心率。

将角速度

和

平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系各轴上，可得：

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式中：

表示n系相对e系的角速度在n系Xⁿ轴（Yⁿ轴、Zⁿ轴）上的分量。上式表明，航行速度将引起地理坐标系绕地理东向、北向和垂直方向相对地球坐标系转动。

地球坐标系相对惯性参照系的转动是地球自转引起的。把地球自转角速度ω平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系的各轴上，可得：

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上式表明，地球自转将引起地理坐标系绕地理北向和垂线方向相对惯性参照系转动。

综合考虑地球自转和载体的航行影响，地理坐标系相对惯性参考系的转动角速度在地理坐标系各轴上的投影表达式为：

航空重力勘探理论方法及应用

在分析陀螺仪和惯性导航系统时，地理坐标系是要经常使用的坐标系。例如，陀螺罗经用来重现子午面，其运动和误差就是相对地理坐标系而言的。在指北方位平台式惯导中，采用地理坐标系作为导航坐标系，平台所模拟的就是地理坐标系。

3.当地地理坐标系（n系）－载体坐标系（b系）

当地地理坐标系可通过绕载体坐标系Z^b轴转动方位角A、绕y^b轴转动俯仰角θ，和绕x^b轴转动滚动角φ来实现其到载体坐标系的转换（捷联惯性导航技术，张天光等译），三次转动可以用数学方法表述3个独立的方向余弦矩阵，定义如下：

绕载体坐标系z轴转动方位角A，有：

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绕载体坐标系y轴转动方位角θ，有：

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绕载体坐标系x轴转动方位角φ，有：

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因此，当地地理坐标系（n系）到载体坐标系的变换可以用这3个独立变换的乘积表示如下：

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所以转换矩阵

为：

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在平台式惯性导航系统中，或通过3个框架之间的角度传感器测量方位角A、俯仰角θ和滚动角φ。