Question

已知△ABC的三边BC,CA,AB上各有一点D,E,F,满足AD,BC,CF交于一点G,若△AGE、CGD、BGF的面积相等，求证如下

已知△ABC的三边BC,CA,AB上各有一点D,E,F,且满足AD,BC,CF交于一点G,若△AGE、△CGD、△BGF的面积相等，求证：G为△ABC重心

Answer 1

设置两个比例，根据梅涅劳斯定理计算列方程， 一定可以做，我明天来看看，

确实不容易做，都是为世界奥数比赛准备的，有一定的规律、方法，但是最后也是四次方程

一个解 m=n=1，可以奔着这个目标去，另外两个解<0，这好说，但是还有一个解 m=0.2……反正小于1/3，代入求 n<0，其实这三个姐都是没法子解出来的，只能根据方程式，作出判断

好了，今天这个难题总算解决了，

希望提问者采纳

花了一天时间，为提问者，解答这个问题，到头来提问者又是逃之夭夭，这个提问者的诚信何在？道德何在？本人是一个年逾70的身患严重帕金森病的人，提问者难道良心上过得去？

Answer 2

这题好象不对，AD,BC,CF怎么能交于一点呢？
应该是AD,BE,CF怎么能交于一点G吧。如果是这样，若△AGE、CGD、BGF的面积相等，则D,E,F必定是BC,CA,AB的中点，则AD,BE,CF是△ABC的三条中线，三角形三条中线的交点G则是三角形的重心G。

Answer 3

本题如图   

在三角形ABC中  ;  ∵ △·AGE=△CGD=△BGF  ,  ∴△AGF=△BGD=△CGE     ,  ∴△AGB=△BGC=△CGA   ,  根据重心到三角形的三个顶点组成的三角形面积相等这一定理，断定G为三角形ABC的重心。