已知如图在三角形ABC中AM是边BC上的中线。求证:AM<二分之一(AB+AC) 50
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解答：证明：延长AM到D，使MD=AM，连CD，
∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM，
又AM=DM，∠AMB=∠CMD，
∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD，
在△ACD中，则AD＜AC+CD，
即2AM＜AC+AB，
AM＜
1
2
（AB+AC）．
∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM，
又AM=DM，∠AMB=∠CMD，
∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD，
在△ACD中，则AD＜AC+CD，
即2AM＜AC+AB，
AM＜
1
2
（AB+AC）．
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延长AM，截DM=AM,连接BD,CD
则AB=CD,BD=AC，AD=2AM
因为AD<AB+BD,AD<AC+CD
所以4AM<AB+AC+BD+CD
即4AM<2(AB+AC)
所以AM<二分之一AB+AC
则AB=CD,BD=AC，AD=2AM
因为AD<AB+BD,AD<AC+CD
所以4AM<AB+AC+BD+CD
即4AM<2(AB+AC)
所以AM<二分之一AB+AC
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