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y''-5y'+6y =xe^(2x)
The aux.equation
p^2-5p+6=0
(p-2)(p-3)=0
p=2 or 3
let
yp = (Ax^2+Bx ).e^(2x)
yp' =[ 2(Ax^2+Bx ) + 2Ax +B] e^(2x) = [2Ax^2 + (2A+2B)x +B ].e^(2x)
yp''
= { 2[2Ax^2 + (2A+2B)x +B ] + 4Ax +(2A+2B) ].e^(2x)
=[ 4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B) ].e^(2x)
yp''-5yp'+6yp =xe^(2x)
{ [ 4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B) ] -5 [2Ax^2 + (2A+2B)x +B ] +6(Ax^2+Bx ) }.e^(2x)
=xe^(2x)
[-2Ax +(2A-B) ].e^(2x) = xe^(2x)
=>
A= -1/2 and 2A-B=0
A= -1/2 and B=-1
yp = [-(1/2)x^2-x ].e^(2x)
yg = Ce^(2x)+De^(3x)
通解
y=yg+yp=Ce^(2x)+De^(3x) +[-(1/2)x^2-x ].e^(2x)
The aux.equation
p^2-5p+6=0
(p-2)(p-3)=0
p=2 or 3
let
yp = (Ax^2+Bx ).e^(2x)
yp' =[ 2(Ax^2+Bx ) + 2Ax +B] e^(2x) = [2Ax^2 + (2A+2B)x +B ].e^(2x)
yp''
= { 2[2Ax^2 + (2A+2B)x +B ] + 4Ax +(2A+2B) ].e^(2x)
=[ 4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B) ].e^(2x)
yp''-5yp'+6yp =xe^(2x)
{ [ 4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B) ] -5 [2Ax^2 + (2A+2B)x +B ] +6(Ax^2+Bx ) }.e^(2x)
=xe^(2x)
[-2Ax +(2A-B) ].e^(2x) = xe^(2x)
=>
A= -1/2 and 2A-B=0
A= -1/2 and B=-1
yp = [-(1/2)x^2-x ].e^(2x)
yg = Ce^(2x)+De^(3x)
通解
y=yg+yp=Ce^(2x)+De^(3x) +[-(1/2)x^2-x ].e^(2x)
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