Question

设n维向量组S:a1,a2,...as线性无关,证明存在齐次线性方程Ax=0,使向量组

S是它的一个基础解系.怎么证明？

Answer 1

A 不对! 例如: a1=(1,0,0), a2 =(0,1,0) b1=(0,2,0),b2=(0,0,1) 两向量组都线性无关, 但不等价, 谁也不能表示谁 B正确。
     因为A,B等价, 即A可经初等变换化成B 初等变换不改变矩阵的秩, 列秩也不变 所以A,B等价, 相当于说 A,B 的列秩相等, 即两个向量组的秩相同 故 r(B)=r(A)=s, 所以b1,b2,,,bs线性无关 反之, 两个向量组都线性无关, 且含向量组个数相同 所以 r(A)=r(B)=s 故A,B 等价。

Answer 2

题目不全啊，但是感觉上应该是考虑齐次线性方程解的存在和唯一性问题。这个时候要求这个系数矩阵A是可逆的。如果这个A是由你那个S组成的，那就对了，因为S是线性无关的，组成的A的行列式肯定不为零，所以可逆

Answer 3

a1,a2,......,as做为列向量，组成矩阵B
解线性方程组 YB=0
求出基础解系（行向量），然后组成的A即可。

Answer 4

a1,a2,......,as做为列向量，组成矩阵B