Question

如图，求大神解答，根据定义证明此函数极限是4

高数中函数极限相关问题

Answer 1

用极限定义证明：x→4lim[(x-4)/(-2+√x)]=4;
证明：由于(x-4)/(-2+√x)=(2+√x)(-2+√x)/(-2+√x)=2+√x；
所以要证明x→4lim[(x-4)/(-2+√x)]=4，只需证明x→4lim(2+√x)=4就可以了。
不论预先给定的ξ>0怎么小，由∣(2+√x)-4∣=∣(√x)-2∣<∣[(√x)-2][(√x)+2]∣=∣x-4∣<ξ，
于是存在正数δ=ξ；当x适合不等式 0<∣x-4∣<δ时函数值∣(2+√x)-4∣<ξ总成立；也就是
不等式∣(x-4)/(-2+√x)-4∣<ξ总成立；故证。