Question

请问这两条高中不等式怎么证明？

Answer 1

a≤|a|，b≤|b|，
所以 a＋b≤|a|＋|b|，
-a≤|a|，-b≤|b|，
所以 -(a＋b)≤|a|＋|b|，
因此 |a＋b|≤|a|＋|b|；
上式对任意实数 a、b 都成立，
因此对 a、-b 也成立，
所以 |a - b|≤|a|＋|-b|，
也即 |a-b|≤|a|＋|b|。

追问

请问取等条件是什么？？

追答

第一个是 ab≥0，第二个是 ab≤0。

Answer 2

(|a|+|b|)^2=a^2+2|a||b|+b^2
|a±b|^2=a^2±2ab+b^2
两式相减，
(|a|+|b|)^2-|a±b|^2
=2|a||b|∓2ab
=|2ab|∓2ab
>=0
所以(|a|+|b|)^2>=|a±b|^2
因为|a|+|b|和|a±b|都是非负数
所以|a|+|b|>=|a±b|

追问

请问取等条件是什么？

追答

a和b至少有一个等于0，则a|+|b|=|a±b|
或者
（1）a,b同号，则|a|+|b|=|a+b|
（2）a,b异号，则|a|+|b|=|a-b|