求解 数学 简化方程式。
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当
n
趋向无穷大时，(1
1/2
1/3
1/4
……
1/n)
趋向无穷大，极限不存在。
因为当
x＞0
时，不等式
x＞ln(1
x)
恒成立（这是一个重要的不等式，可用“导数”证明），所以
1＞ln(1
1)=ln2
1/2＞ln(1
1/2)=ln(3/2)
1/3＞ln(1
1/3)=ln(4/3)
1/4＞ln(1
1/4)=ln(5/4)
……
1/(1-n)＞ln[1
1/(n-1)]=ln[n/(n-1)]
1/n＞ln(1
1/n)=ln[(n
1)/n],
于是
(1
1/2
1/3
1/4
……
1/n)
＞ln2
ln(3/2)
ln(4/3)
ln(5/4)
……
ln[n/(n-1)]
ln[(n
1)/n]
=
ln[2·3/2·4/3·5/4·……·n/(n-1)·(n
1)/n]
=
ln(n
1)，
当
n--->∞
时，ln(n
1)--->∞，所以
(1
1/2
1/3
1/4
……
1/n)--->∞.
n
ln
(n
1)=100
(n
1)^n=e^100
n
趋向无穷大时，(1
1/2
1/3
1/4
……
1/n)
趋向无穷大，极限不存在。
因为当
x＞0
时，不等式
x＞ln(1
x)
恒成立（这是一个重要的不等式，可用“导数”证明），所以
1＞ln(1
1)=ln2
1/2＞ln(1
1/2)=ln(3/2)
1/3＞ln(1
1/3)=ln(4/3)
1/4＞ln(1
1/4)=ln(5/4)
……
1/(1-n)＞ln[1
1/(n-1)]=ln[n/(n-1)]
1/n＞ln(1
1/n)=ln[(n
1)/n],
于是
(1
1/2
1/3
1/4
……
1/n)
＞ln2
ln(3/2)
ln(4/3)
ln(5/4)
……
ln[n/(n-1)]
ln[(n
1)/n]
=
ln[2·3/2·4/3·5/4·……·n/(n-1)·(n
1)/n]
=
ln(n
1)，
当
n--->∞
时，ln(n
1)--->∞，所以
(1
1/2
1/3
1/4
……
1/n)--->∞.
n
ln
(n
1)=100
(n
1)^n=e^100
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