Question

求∑㏑（n＋1）/n的敛散性

Answer 1

(0,π/2)∫dθ/(sinθ+cosθ)
=(0,π/2)∫dθ/[√2sin(θ+π/4)]
=(0,π/2)∫√2/2*csc(θ+π/4)dθ
换元θ+π/4=x
=√2/2*(π/4,3π/4)∫cscxdx
又cscx在(π/4,3π/4)上连续
=√2/2*(π/4,3π/4)ln|cscx-cotx|
=√2/2*ln|(√2+1)/(√2-1)|
=√2/2*ln(√2+1)^2=√2ln(√2+1)
1。lim(n→∞)cos
(nπ/2)/n=1。lim(.n→∞)Xn=0，解N时，N必须满足1/N<δ.即N=1/δ.δ=0.001,n=1000.
2.a为常数，所以当n→∞，lim(x→∞)a²/n²=0,所以lim(n→∞)根号下（1+a²/n²）=lim(n→∞)1=1
或：欲使|根号下（1+a²/n²）-1|<δ,则（1+a²/n²）<(1+δ)^2,解出n即可。
3。数列U为-1的n次方n/(n+1)时，数列
▏Un▕
收敛时，数列U不收敛。
因为lim(x→∞)Un=a，任取δ>0，存在N。使n>N,|Xn
-
a|<δ
当n>N时，
||Xn|-|a||<=|Xn
-
a|<δ,得证。