Question

设函数f(x)在(﹣∞,﹢∞)内连续，且f[f(x)]=x，证明在(﹣∞,﹢∞)内至少有一个x0满足f(x0)=x0

Answer 1

若f(x)=x显然成立
若f(x)不恒等于x
不妨设f(x1)>x1
设F(x)=f(x)-x，则F(x)连续
则F(x1)=f(x1)-x1>0
F(f(x1))=f(f(x1))-f(x1)=x1-f(x1)<0
由零点定理
F(x1)*F(f(x1))<0
所以存在x0在x1和f(x1)之间使F(x0)=0
即存在x0满足f(x0)=x0

Answer 2

f(x)在x0三阶可导，因此二阶导函数f"(x)在x0的附近连续。
考虑二阶导函数f"(x)，其导数f'''(xo)≠0，因此在x0的附近单调；而f''(xo)=0，因此在x0的两侧二阶导函数变号。由定义，此点为拐点。