Question

已知通解求特解

Answer 1

第一题：首先求齐次方程的特征方程λ²+2λ-1=0的特征根λ=-1+√2，-1-√2，
由于λ=0不是特征方程的根，设特解为y=ax²+bx+c
代入原方程解得a=-1,b=-2,c=-5
则非齐次方程的一个特解为：y=-1x²-2x-5
第二题：首先求齐次方程的特征方程λ²+2λ-2=0的特征根λ
由于λ=1不是特征方程的根，设特解为y=（ax+b）e
x次
代入原方程解得a=1,b=-4
则非齐次方程的一个特解为：y=（x-4）e
x次
第三题：首先求齐次方程的特征方程λ²+3λ+2=0的特征根λ
由于λ=1不是特征方程的根，设特解为y=（ax+b）e
x次
代入原方程解出a,b,即求出方程特解。

Answer 2

解：∵通解y=Ce^[∫p(x)dx]=Ce^[∫<0,x>p(t)dt]
(∫<0,x>表示从0到x积分)
又当x=x0时，y=y0
∴y0=Ce^[∫<0,x0>p(t)dt]
==>C=y0*e^[-∫<0,x0>p(t)dt]
==>y=Ce^[∫p(x)dx]
={y0*e^[-∫<0,x0>p(t)dt]}*e^[∫<0,x>p(t)dt]
=y0*e^[-∫<0,x0>p(t)dt+∫<0,x>p(t)dt]
=y0*e^[∫
p(t)dt+∫<0,x>p(t)dt]
=y0*e^[∫
p(t)dt]
故
在给出的初始条件下的特解是
y=y0*e^[∫
p(t)dt]。