Question

抛物线的顶点为(-1,-8),它与x轴的两个交点间的距离为4,求此抛物线的解析式.

Answer 1

设
抛物线方程
为y=ax^2+bx+c
因为顶点是(-1,-8)
所以
-b/2a=-1→b=2a
a-b+c=-8→c=a-8
所以抛物线方程为y=ax^2+2ax+(a-8)
设它与x轴的两个交点分别为(x1,y1),(x2,
y2
)
则x1,x2为方程ax^2+2ax+(a-8)=0的两根
所以x1+x2=-2，x1·x2=(a-8)/a
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1·x2=4-4(a-8)/a=32/a
它与x轴的两个交点间的距离为4
所以(x1-x2)^2=16
所以32/a=16
所以a=2
所以抛物线方程为y=2x^2+4x-6

Answer 2

设抛物线的解析式：y＝a(x＋1)²－8，它与x轴的交点横坐标为x1、x2，则x1、x2是a(x＋1)²－8＝0的两根
ax²＋2ax＋a－8＝0
x1＋x2＝﹣2
x1x2＝(a－8)/a
∴两个交点间的距离＝|x1－x2|＝√[(x1＋x2)²－4x1x2]＝4
∴(﹣2)²－4×(a－8)/a＝16
∴﹣4×(a－8)/a＝12
∴1－8/a＝﹣3
∴8/a＝4
∴a＝2
∴抛物线的解析式：y＝2(x＋1)²－8＝2x²＋4x－6