Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（其中a实数，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y

Answer 1

（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x2+5x-3）ex，
g′（x）=（-x2+3x+2）ex，
故切线的斜率为g′（1）=4e，且g（1）=e，
所以
切线方程
为：y-e=4e（x-1），即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，得x=
1
e
，
①当t≥
1
e
时，在区间（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）为
增函数
，
所以f（x）min=f（t）=tlnt，
②当0＜t＜
1
e
时，在区间（t，
1
e
）上f′（x）＜0，f（x）为
减函数
，
在区间（
1
e
，e）上f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（x）min=f（
1
e
）=-
1
e
；
（Ⅲ） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=-x2+ax-3
a=x+2lnx+
3
x
，
令h（x）═x+2lnx+
3
x
，h′（x）=1+
2
x
-
3
x2
=
(x+3)(x?1)
x2
x
（
1
e
，1）
1
（1，e）
h′（x）
-
0
+
h（x）
单调递减
极小值
（最小值）
单调递增
h（
1
e
）=
1
e
+3e-2，h（1）=4，h（e）=
3
e
+e+2，
h（e）-h（
1
e
）=4-2e+
2
e
＜0
则实数a的
取值范围
为（4，e+2+
3
e
]．