Question

线性代数关于两个矩阵相乘的问题

Answer 1

一、反证法：若ai1，ai2....air线性相关，不妨设air能表示为其他r-1个向量的线性组合，由a1，a2...an中的每个向量都可被ai1,ai2...air线性表示可知，由a1，a2...an中的每个向量都可被ai1,ai2...air-1线性表示.从而向量组a1,a1.....an的秩为r-1，矛盾。
二、记β=（1
2
3
4）转置，四元非齐次线性方程组为ax=b,则aβ=a（a1+a2+a3）=aa1+aa2+aa3=3b,所以aβ/3=b也是非齐次线性方程组的解，a(β/3-a1)=o,
a(β/3-a2)=o,a(β/3-a3)=o,即β/3-a1,
β/3-a2,β/3-a3是题设四元非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的三个解，可验证它们是线性无关的。因此它们就是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。所以方程组的通解是x=β/3+k1(β/3-a1)+k2(β/3-a2)+k3(β/3-a3)