Question

已知x,y均为正实数,则x/(2x+y)+y/(x+2y)的最大值

Answer 1

已知x,y均为正实数,则x/(2x+y)+y/(x+2y)的最大值
x/(2x+y)+y/(x+2y)
=(x^2+4xy+y^2)/(2x^2+5xy+2y^2)
(通分)
=(x^2+2.5xy+y^2+1.5xy)/(2x^2+5xy+2y^2)
(转化变形，准备将分母变为1项式)
　　=0.5+1.5xy/(2x^2+5xy+2y^2)
（分母变为1项式）

　　≤0.5+1.5*1/9

　　≤1/2+1/6

　　≤2/3
最大值是2/3

因为x>0
y>0
所以要求xy/(2x^2+5xy+2y^2)的最大值，就是要求(2x^2+5xy+2y^2)/xy的最小值
　　
(2x^2+5xy+2y^2)/xy
=2x/y+2y/x+5>=4+5(利用基本不等式a+b>=2*根号(ab))
　　最小值为9