Question

二重积分的计算例题

Answer 1

把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量，比如Y，只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。

题目积分区域中，x,y并不成函数关系，要是积分区域是由比如说1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所围成的话，那么就要先对y积分其中上下限就是f(x),g(x),要看谁的图形在上谁就是上限，这时候的x就当做一个常数来看待。

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

以上内容参考：百度百科-二重积分

Answer 2

解：可以用“大-小”实现。过程是，∫∫Dydxdy=∫(-2,0)dx∫(0,2)ydy-∫(-√(2y-y^2),0)dx∫(0,2)ydy。
又，∫(-2,0)dx∫(0,2)ydy=∫(-2,0)[(1/2)y^2丨(y=0,2)]dx=2∫(-2,0)dx=4；
对∫(-√(2y-y^2),0)dx∫(0,2)ydy，设设x=ρcosθ，y=ρsinθ，则积分区域D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤2sinθ，π/2≤θ≤π}。
∴∫(-√(2y-y^2),0)dx∫(0,2)ydy=∫(π/2,π)dθ∫(0,2sinθ)(ρ^2)sinθdρ=(8/3)∫(π/2),π)(sinθ)^4dθ=(1/3)∫(π/2),π)(3-4cos2θ+cos4θ)dθ=π/2。
∴∫∫Dydxdy=4-π/2。供参考。

Answer 3

[-x*cos(x+y)]'
=
x*sin(x+y)
-
cos(x+y)
x*sin(x+y)
=
cos(x+y)
-
[x*cos(x+y)]'
以上是对
x
求导
的结果。把y暂看作常数。
二重积分，可以先把y看作常数，对x进行积分。然后再对y积分。
∫∫xysin(x+y)
dxdy
=
∫y
[∫xsin(x+y)
dx]
dy
=
∫y
{∫cos(x+y)
-
[x*cos(x+y)]'
dx
}
dy
=
∫y
[∫cos(x+y)
dx]
dy
-
∫y
∫[x*cos(x+y)]'
dx
dy
=
∫y
sin(x+y)
dy
-
∫xycos(x+y)
dy
对于其中第一项，仍然采用分部积分法
∫y
sin(x+y)
dy
=
∫
{cos(x+y)
-
[y*cos(x+y)]'
}
dy
=
sin(x+y)
-
y*cos(x+y)
对于第二项
∫xycos(x+y)
dy
=
x∫ycos(x+y)
dy
=
x
∫
{[ysin(x+y)]'
-
sin(x+y)
}
dy
=
xysin(x+y)
+
xcos(x+y)
因此
原二重积分结果为
sin(x+y)
-
y*cos(x+y)
-
xysin(x+y)
-
xcos(x+y)
=
(1
-xy)sin(x+y)
-
(x+y)
cos(x+y)
（经对x和y求导检验后，上述结果正确）
以下限代入
=
(1
-
0)*sin0
-
(0+0)cos0
=
0
以上限
x+y=π/2
代入
=
1
-
xy
=
1
-
x(π/2
-
x)
=
1
-
πx/2
+
x^2
其中
x
∈[0，π/2]
上限
为
x+y
=
π/2。但
x
和y
本身并非定值。这导致了积分结果依然是一个函数。