Question

设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（　　）A．充分必要条件B．

Answer 1

充要条件，详情如图所示

Answer 2

解答：解；∵f（x）可导∴f′（0）存在，f（x）在x=0连续
又∵F′(0)＝
lim
x→0
F(x)?F(0)
x
＝
lim
x→0
f(x)(1+|sinx|)?f(0)
x
∴F′?(0)＝
lim
x→0?
f(x)(1?sinx)?f(0)
x
=
lim
x→0?
f(x)?f(0)
x
?
lim
x→0?
f(x)
sinx
x
=f′（0）-f（0）
F′+(0)＝
lim
x→0+
f(x)(1+sinx)?f(0)
x
=
lim
x→0+
f(x)?f(0)
x
+
lim
x→0+
f(x)
sinx
x
=f′（0）+f（0）
∴F′（0）??F′-（0）=F′+（0）?f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0）?f（0）=0
故选：A．