Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0<a<b),证明,f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a

Answer 1

可以考虑柯西中值定理，答案如图所示

Answer 2

利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx，则根据条件可知:
f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，
∴在(a,b)上存在ξ，使得:
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即:[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得:f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)