Question

求极值 并写出过程

Answer 1

x^3+6x^2+9x+4
=(x+1)(x^2+5x+4)
=(x+1)(x+1)(x+4)
所以x=-1,x=-4是方程的根
所以有两个根
原来你都上高中了啊
那就好说了啊
f'(x)=3x^2+12x+9=3(x+3)(x+1)
所以x=-1,-3时，f(x)的斜率为0
即x=-1,x=-3是极大值
f(x)在（-无穷大，-3]是增函数，[-3,-1]是减函数，[-1,+无穷大)是增函数
而f(-1)=0
f(-3)=4>0
所以f(x)在（-无穷大,-3)上有一个根，在[-3,-1)上没有根，在[1,+无穷大）有一个根
所以一共2个根

Answer 2

极值的存在条件不仅仅是f'(x)=0
在函数的不可导点可能也有极值
要具体情况具体分析了
你的问题中g(x)=0的x值处有可能就是f(x)的极值点
举个简单的例子
x^2-2x
x<0
f(x)=
0
x=0
x^2+2x
x>0
这个函数在x=0处明显不可导（左右导数不相等），但是x=0处确实是这个函数的极小值点