Question

高等数学洛必达法则问题？

必须要求f'(x)和F'(x)连续才能使用吗？

Answer 1

洛必达法则并未要求f‘(x) 和F’(x)的连续性。
洛必达法则的条件有3:
1、当x趋于a时，f(x) F(x)都趋于零
2、在a的去心邻域内f‘(x) 和F’(x)都存在，且F’(x)不等于零
3、使用洛必达法则后该极限存在（或为无穷大）

追问

我想问一下下面这个问题，f(0)和f'(0)都为0，那么下图两种做法哪个是正确的？一个是极限定义，一个是洛必达，

一般题目都是先用洛必达，再用定义，这样求得和第二种一致，我的问题就是为什么不继续用洛必达，题目一般只说f'(0)存在，并没有说连续，所以我推测和f'(x)在那一点的连续性有关

追答

虽然没有很明白你在问什么，但是归纳一下应该是三个问题，一个是f'(x)的连续性问题，一个是图片里两种方法算的不一样的问题，另一个是关于第二次使用洛必达的问题。

1）对于f'(x)的连续性问题，在一元函数中可导必定连续，也就是说如果存在f''(0)，那么f'(x)在0的邻域中一定连续。

2）对于图片中两种方法的计算结果不一样的问题，解答如下图

如果使用方法一，后续应当是这样的

但由于极限的乘法计算公式要求拆分后各部分极限存在，所以这里不能将它们拆开，方法一无法计算这道题。

3）关于为什么不继续使用第二次洛必达的问题，在题目没有说明f''(x)在0的去心邻域存在时，不能直接使用洛必达，需要证明f''(x)在0的去心邻域的存在性。至于f''(x)的存在性与f'(x)的连续性无关，不能由连续性推导数的存在性。

追问

图呢？😂

追答

看得到呀，手机端和电脑端都看得到

另一张我手机上没有，就这个，上面发了的，你再刷新一下吧

Answer 2

洛必达法则是用在0/0或是无穷/无穷求极限的问题上，洛必达法则求导，求导就要求函数在该点连续。

追问

我问的是f'(x)

追答

不用，因为洛必达法则是求在某点的极限值，只要保证f'(x)在该点存在就可以了，不一定要f'(x)处处连续。但是f'(x)存在一定是f'(x)在该点连续。如果使用洛必达法则，一般直接求导就可以，不需要证明。

追问

谢谢，那我想问一下，有些题目说f'(0)存在，要我们求x→0时，limf(x)/x，这时答案都是用导数定义做的，没有用洛必达法则做的，这是为什么？