Question

a的n次方的极限怎么用ε-N语言证明？n趋于无穷大

Answer 1

要看a的取值。首先若a=1
那么显然a^n=1
极限就是1这个不证了
a=-1的时候
极限不存在，
因为对于ε=1/4
任何A∈R，
任意n都不可能同时满足
|a^n-A|<1/4
,|a^(n+1)-A|<1/4
|a|<1时：
对任意ε>0
,
要求|a^n|=|a|^n<ε
即需要n>lnε/(ln|a|)
取N=[lnε/ln|a|]+1
,则当n>N时，有|a^n|=|a|^n<ε
所以lima^n=0
|a|>1时
，对任意X>0
要使得|a^n|=|a|^n>X
即n>lnX/ln|a|
取N=[lnX/ln|a|]+1
即,则当n>N时，有|a^n|=|a|^n>X
所以lima^n=∞

Answer 2

证明
lima^(1/n)
=
1：
1）当
a=1
时结论是明显的；
2）若
a>1，记
a^(1/n)
=
1+hn，有
hn>0，且
　
a
=
(1+hn)^n
>
c(n,1)*(hn)
=
n(hn)，
于是，有
　
0
<
hn
<
a/n。
对任意ε>0，取
n=[a/ε]+1，则当
n>n
时，有
|a^(1/n)-1|
=
hn
<
a/n
<
a/n
≤
ε，
得证
lim(n→∞)a^(1/n)
=
1。
3）若
0
1，有
　lima窢梗促妓讵幻存潍担璃^(1/n)
=
1/limb^(1/n)
=
1/1
=
1，
故得证。