Question

求(1+x^2)开根号的积分

Answer 1

利用第二积分换元法，令x=tanu

∫du√(1-x²)dx

=∫sec³udu

=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|zhisecu+tanu|-∫sec³udu,

所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C

从而∫√(1-x²)dx=1/2(x√(1-x²)+ln(x-√(1+x²)))+C

不定积分的意义：

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分，实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形。

然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

Answer 2

令x=tanu，则√(1+x²)=secu，dx=sec²udu
∫
√(1+x²)
dx
=∫
secu*suc²u
du
=∫
suc³u
du
下面计算：
∫
sec³udu
=∫
secud(tanu)
=secutanu-∫
tan²usecudu
=secutanu-∫
(sec²u-1)secudu
=secutanu-∫
sec³udu+∫secudu
=secutanu-∫
sec³udu+ln|secu+tanu|
将-∫
sec³udu移动等式左边与左边合并，除去系数（别忘记要留常数C在右边）
∫
sec³udu=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C
因此原式=(1/2)x√(1+x²)+(1/2)ln|√(1+x²)+x|+C

Answer 3

做代换
x=tant
根号1+x^2
=
1+(tant)^2
=(sect)^2
y
=
sect
sect积分得
[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+c
secx不定积分方法复制：
secx=1/cosx
∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/(cosx的平方)dsinx
=∫1/(1-sinx的平方)dsinx
令sinx=t代人可得:
原式=∫1/(1-t^2)dt=1/2∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt
=1/2∫1/(1-t)dt+1/2∫1/(1+t)dt
=-1/2ln(1-t)+1/2ln(1+t)+c
将t=sinx代人可得
原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+c