Question

求(1+x^2)开根号的积分

Answer 1

利用第二积分换元法，令x=tanu

∫du√(1-x²)dx

=∫sec³udu

=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|zhisecu+tanu|-∫sec³udu,

所以激野∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C

从而∫√(1-x²)dx=1/2(x√(1-x²)+ln(x-√(1+x²)))+C

不定积分的意义：丛顷

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分，实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而渗铅陆假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形。

然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

Answer 2

令x=tanu，则√(1+x²)=secu，dx=sec²udu
∫
√(1+x²)
dx
=∫
secu*suc²u
du
=∫
suc³u
du
下面计算：
∫
sec³udu
=∫
secud(tanu)
=secutanu-∫
tan²usecudu
=secutanu-∫
(sec²u-1)secudu
=secutanu-∫
sec³udu+∫secudu
=secutanu-∫租瞎
sec³udu+ln|secu+tanu|
将-∫
sec³udu移动等式锋念左边与左边合并，除去系数（别忘记要留常数C在银型困右边）
∫
sec³udu=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C
因此原式=(1/2)x√(1+x²)+(1/2)ln|√(1+x²)+x|+C

Answer 3

做代换
x=tant
根号1+x^2
=
1+(tant)^2
=(sect)^2
y
=
sect
sect积分得
[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/银档肆蠢裤2+c
secx不定积分方法复制：
secx=1/cosx
∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/(cosx的平方)dsinx
=∫1/(1-sinx的平方)dsinx
令sinx=t代人可得:
原式=∫1/(1-t^2)dt=1/2∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt
=1/2∫1/锋轿(1-t)dt+1/2∫1/(1+t)dt
=-1/2ln(1-t)+1/2ln(1+t)+c
将t=sinx代人可得
原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+c