Question

为什么这题，线代，矩阵右边加上一列，矩阵的秩不变？

Answer 1

如果一个向量可以用向量组线性表示，那么把该向量加入这个向量组中，不改变这个向量组的秩。

1. β+α3可以用向量组{α1，α2，α3}线性表示。因为α1+2α2-α3=β，所以β可以用向量组{α1，α2，α3}线性表示，那么β+α3当然也可以。

2. 引入β+α3。因为β+α3可以用向量组{α1，α2，α3}线性表示，所以可以把这个向量引入向量组{α1，α2，α3}中，不改变向量组的秩。

所以r(B)=r(α1，α2，α3，β+α3)=r(α1，α2，α3)。

另一个向量α1+2α3也是同理。

追问

开头那句话是一个结论吗？不太懂，我试着自己写了一个具体数值的矩阵，然后按它的要求变化，发现秩并不想等😭😭😭😭😭😭

追答

是结论。秩应该是相等的，可能是矩阵有问题比如无解，或者计算出了小问题吧

追问

为什么我没学过这个结论呢呜呜呜呜，但是刚刚算了一遍又是对的，数字好神奇

能问下小姐姐为什么会相等呢，呜呜呜，我现在觉得结论正确，但是又不懂为什么>o<，我能理解就是如果一个向量组能完全用另一个向量组表示，那么他们的秩相等

😭😭😭

追答

比如现在有向量组{A}，假设向量b可以用向量组{A}表示，然后把b加入向量组{A}中，得到新的向量组{A，b}。{A，b}显然可以表示{A}，而b可以用A表示，所以{A}也可以表示{A，b}。因此两个向量组可以互相表示，它们的秩相等。

追问

谢谢你！！太厉害了

Answer 2

这是线性方程组解存在的定律啊，r(A)=r(A,b)

追问

谢谢！突然明白

可是，题目里的贝塔加阿尔法3不是非齐次的解啊

他只是新矩阵的新的一列

追答

提干中不是给出Ax=b的解了么？这几个向量当然满足线性方程条件啊
a1,a2,a3是A的列向量，b是Ax=b的右侧向量，你看题目太不灵活了