Question

设函数f(x)在[a,b]上可导，且f(x)在a处的右导数大于0，b处的左导数小于0，证明f(x)必在(a,b)内取最大值.

Answer 1

楼上讲：导数一定是恒为正数或恒为负数是不对的。
证明是这样的：
由于y=f(x)在
上连续，且(a)f(b）<0，故f(x)=0在开区间（a，b）内至少有一个实根。现若
f(x)=0在开区间（a，b）至少有两个实根x1,x2，由罗尔定理，至少存在c属于（a，b），使f'(c)=0与题设矛盾。故方程f(x)=0在开区间（a，b）内有且仅有一个实根。

Answer 2

不知道你在哪里看来的这个“定理”.在区间端点处,只能说左导或者右导存在与否,根本不能提此点可导.
因为：某点可导等价于“左右导数存在且相等”,因此在端点处左右极限是不可能同时有的,比如说a处,其左导数根本不存在,b处,右导数不存在,何来端点处可导一说?
与此类似,严格意义上我们也不能说在端点处连续!至于教材上的罗尔定理,拉格朗日定理什么的,条件中有一个在闭区间连续,这只是他们为了方便才这样表述的