Question

已知数列{an}满足：a1=1 ，an+1=1/2an+n/2^(n+1) (n∈n*)

已知数列{an}满足：a1=1 ，an+1=1/2an+n/2^(n+1) (n∈n*)
(1)求数列{an}的通项公式
（2）证明：1/2^(n-1) ≤an≤1
（3）设Tn=2n/(n^2-n+4) ×an，且Kn=Ln(1+Tn)+（1/2）×Tn^2，证明2/(Tn+2) ＜Tn/Kn

Answer 1

(1)[2^(n+1)]a(n+1)=2^nan+n
令bn=2^nan
b1=2
b(n+1)-bn=n
bn-b(n-1)=n-1
....
b2-b1=1
bn=b1+1+...n-1=2+(n-1)n/2=(n^2-n+4)/2
an=(n^2-n+4)/2^(n+1)
(2)1/2^(n-1)≤(n^2-n+4)/2^(n+1)
分析法
即证4≤n^2-n+4
(n-1)n≥0显然
再证an≤1
即证n^2-n+4≤2^(n+1)
利用数归
当n=1
显然
当n=k,假设成立
当n=k+1
即证(k+1)^2-(k+1)+4≤2*2^(k+1)
即证k^2+k+4≤2(k^2-k+4)
即证k^2-3k+4≥0
显然
所以(2)中成立
(3)什么是Ln
还有就是Tn+2是T(n+2)还是Tn+ 2

Answer 2

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