Question

（2015•漳州模拟）已知函数f（x）=12（x2+a）的图象在点Pn（n，f（...

（2015•漳州模拟）已知函数f（x）=12（x2+a）的图象在点Pn（n，f（n））（n∈N*）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点An（xn，0），Bn（0，yn），且y1=-1．给出以下结论： ①a=-1； ②记函数g（n）=xn（n∈N*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为1； ③当n∈N*时，yn+kn+12＜ln（1+kn）； ④当n∈N*时，记数列{1|yn|•kn}的前n项和为Sn，则Sn＜2(2n-1)n． 其中，正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

解：①由f（x）=12（x2+a），得f′（x）=x，则f′（n）=n，
即kn=n，
∴曲线在点Pn（n，f（n））处的切线ln的切线方程为：ln：y-12（n2+a）=n（x-n），
直线ln与y轴交于点Bn（0，yn），
则：yn=12(n2+a)-n2且y1=-1．
解得：a=-1，故①正确；
②直线ln与x轴交于An（xn，0），
∴0-12(n2+a)=n(xn-n)
整理得：g（n）=xn=n2+12n，
则：xn′=12-12n2
令xn′=12-12n2=0
解得：n=1（负值舍去），
当n＞1时，xn′＞0
∴函数g（n）为增函数，
当n=1时，函数取最小值，且最小值为1．
∴函数g（n）的单调性是增函数，且最小值为1，故②不正确；
③在ln中，令x=0，得yn=-n2+12（n2-1）=-12（n2+1），
∴yn+kn+12=-12n2+n，
当n=1时，y1+k1+12=12=lne＜ln2=ln（1+1）=ln（1+k1），
当n≥2时，yn+kn+12=-12n2+n≤0，而ln（1+kn）=ln（1+n）＞ln1=0，故③正确；
④∵1|yn|•kn=2n2+1•n＜2n2，
∴Sn＜2(112+122+132+…+1n2)．
当n＞1时，1n2＜1n(n-1)=1n-1-1n，
∴Sn＜2[1+(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)]=2(2-1n)=2(2n-1)n，故④正确．
故答案为：①③④．