Question

已知数列{a n }满足 a n a n-1 = n+1 n-1 (n∈ N * ，n＞1) ，a 1 =2（

已知数列{a n }满足 a n a n-1 = n+1 n-1 (n∈ N * ，n＞1) ，a 1 =2 （I）求证：数列{a n }的通项公式为a n =n（n+1） （II）求数列 { 1 a n } 的前n项和T n ； （III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有 | T n -1|＜ 1 10 成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（I）由3S
n
=（n+2）a
n
得3S
n-1
=（n+1）a
n-1
（n≥2）
二式相减得3a
n
=（n+2）a
n
-（n+1）a
n-1
∴（n-1）a
n
=（n+1）a
n-1
∴
a
n
a
n-1
=
n+1
n-1
(n≥2)
∴
a
n-1
a
n-2
=
n
n-2
；…；
a
3
a
2
=
4
2
；
a
2
a
1
=
3
1
；
a
1
=2
叠乘得：a
n
=n（n+1）（n∈N
*
）（7分）
（II）∵
1
a
n
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
∴
T
n
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
（10分）
（III）令
|
T
n
-1|=|
n
n+1
-1|=
1
n+1
＜
1
10
得：n+1＞10，n＞9
故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N
*
}是一个这样的集合（12分）