Question

证明：1/(n+1)<ln(n+1)-lnn<1/n

Answer 1

方法一（微分）：
定义f(x)=ln(1+x)-x，则f(x)在x>-1时连续，且
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)，
所以当x>0时f'(x)<0，f(x)严格单调递减；
所以当x>0时f(x)<f(0)=ln1-0=0。
特别地1/n>0，所以
0>f(1/n)=ln(1+1/n)-1/n=ln[(n+1)/n]-1/n=ln(n+1)-ln(n)-1/n，
所以ln(n+1)-ln(n)<1/n
定义g(x)=ln(1+x)+1/(1+x)-1，则g(x)在x>-1时连续，且
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2，
所以当x>0时g'(x)>0，g(x)严格单调递增；
所以当x>0时g(x)>g(0)=ln1+1-1=0。
特别地1/n>0，所以
0<g(1/n)=ln(1+1/n)+1/(1+1/n)-1=ln[(n+1)/n]+n/(n+1)-1=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)，
所以ln(n+1)-ln(n)>1/(n+1)
方法二（积分）：
对n<x<n+1，有1/(n+1)<1/x<1/n，所以
∫[n,n+1]1/(n+1)dx<∫[n,n+1]1/xdx<∫[n,n+1]1/ndx，
其中第一项和第三项都是常数的积分，所以第一项=[(n+1)-n]*1/(n+1)=1/(n+1)，第三项=[(n+1)-n]*1/n=1/n；
对第二项用Newton-Leibniz公式得ln(x)|{x=n+1}-ln(x)|{x=n}=ln(n+1)-ln(n)，
即得1/(n+1)<ln(n+1)-ln(n)<1/n