Question

基本不等式的两个问题

1.已知非负实数a,b满足2a+3b=10, 则(3b)1/2+(2a)1/2最大值是多少? 注:1/2表示1/2次方,即开根号. 2.已知a>0,b>0,且a+b=1,求(1/a方-1)*(1/b方-1)的最小值. 有简单的解答过程即可 谢谢!

Answer 1

1.
(x+y)/2<=根号下(x^2+y^2)/2,此题中x=2a，y=3b
所以(3b)1/2+(2a)1/2<=根号下2(2a+3b)=根号20=2根号5
当且仅当2a=3b时，a=5/2,b=5/3,等号成立
2.
(1/a方-1)*(1/b方-1)=1/[a^2*b^2+1-(a^2+b^2)]=1/[-(a+b)^2+3ab+1]=(1/3)*(1/ab)
因为ab<=[(a+b)/2]^2,所以1/(ab)>=1/[(a+b)/2]^2=4
所以(1/a方-1)*(1/b方-1)>=4/3
当且仅当a=b=1/2时，等号成立