Question

已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值

（1）已知函数f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x.若f(α/2)=3/4,试求sin2α的值（2）若不等式-sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,求实数t的取值

Answer 1

f(x)=cos^2x+2sinxcosx-sin^2x
=cos^2x-sin^2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
f(α/2)=cosα+sinα=3/4
（cosα+sinα）²=（3/4）²
1+sin2α=9/16
sin2α=9/16-1=-7/16
sin2x+tcos2x
=√(1+t²)sin（2x+φ）
因为x∈(π/12,π/6]
所以2x∈(π/6，π/3]
要使sin2x+tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立
必须使sin（2x+φ）在区间(π/12,π/6]上恒成立
即需要
π/6+φ≥0且π/3+φ≤π
即
-π/6≤φ≤2π/3
又cosφ=1/√(1+t²)，且cosφ在[-π/6,2π/3]内的值域是[√3/2,1]
所以有√3/2≤1/√(1+t²)≤1
解得
0≤t≤√3/3
或者
-√3/3≤t≤0