Question

已知函数f(x)=x+(16/x)，判断f(x)在(0，正无穷)上的单调性并加以证明。

(1)判断f(x)在(0，正无穷)上的单调性并加以证明。 (2)f(x)的定义域，值域。

Answer 1

(1)
f(x)=x+(16/x)在(0,4)上递减，在(4，正无穷)上递增
证明:设X1,X2为(0，4)上任意实数且X1<X2
则X1-X2<0
f(X1)-f(X2)
=X1-X2
+
16/X1-16/X2
=X1-X2
+
16(X2-X1)/X1X2
=(X1X2-16)(X1-X2)/X1X2.
因为X1X2-16<0,X1-X2<0,X1X2>O
所以
f(X1)-f(X2)>0，即
f(X1)
<
f(X2)
所以
f(X)在区间(0，4)上是减函数
同理可证在
f(X)在(4，正无穷)上是增函数
(2)定义域为
x∈R且x≠0
由(1)知f(x)在(0，正无穷)的最小值为f(4)=8，所以取值范围是
[8，正无穷)
同理可知f(x)在(负无穷，0)的最大值为f(-4)=-8，所以取值范围是
(负无穷，-8]
所以值域是
(负无穷，-8]∪[8，正无穷)