Question

高等数学求极限，求limΣ（1/(n+(i^2+1)/n)）(是i=1到n,n趋近无穷大)

答案如图，我想问画线那行等号左边是通过什么方法分解成右边的？

Answer 1

夹逼定理和定积分的定义。
由于1+i^2/n^2<=1+（i^2+1)/n^2<=1+(i+1)^2/n^2，因此
一下的表达式对i都是从1到n求和
σ（1/(n+(i+1)^2/n^2)）*1/n<=σ（1/(n+(i^2+1)/n)）
=σ（1/(1+(i^2+1)/n^2)）*1/n<=σ（1/(1+(i^2)/n^2)）*1/n，
上面的不等式左边
=σ（1/(1+(i^2)/n^2)）*1/n+1/(1+(n+1)^2/n^2)*1/n--1/(1+1^2/n^2)*1/n，
注意到第一项的极限是积分（从0到1）1/(1+x^2)dx，第二，第三两项的极限是0，
不等式右边的极限也是积分（从0到1）1/(1+x^2)dx，因此
原表达式的极限是积分（从0到1）1/(1+x^2)dx=pi/4。

Answer 2

你把前面的化开就行了啊，从i+1化i，应该从2开始，他从1开始，所以减去第一项，结尾，后式到n，前式到n+1，所以加一项