Question

已知函数f（x）=x（ex+ae-x），（1）当a=-1时，判断并证明f（x）的...

已知函数f（x）=x（ex+ae-x）， （1）当a=-1时，判断并证明f（x）的奇偶性； （2）是否存在实数a，使得f（x）是奇函数？若存在，求出a；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由于x∈R，当a=-1时，f（x）=x（ex-e-x），再根据
f（-x）=（-x）（e-x-ex）=f（x），可得f（x）是偶函数．
（2）假设存在实数a使得f（x）是奇函数，
∵f（-x）=（-x）（e-x+aex），-f（x）=-x（ex+ae-x），
要使f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，即ex+ae-x=e-x+aex恒成立，
故有（a-1）ex=（a-1）e-x，即（a-1）（e2x-1）=0恒成立，
∴a-1=0，
∴a=1，即存在实数a，满足条件．